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最近はあまり使われないようですが、処理が軽くシンプルな3次エルミート曲線。各点にベクトルを持ち、2つの点と2つのベクトルから2点を結ぶカーブが取得できる。パラメータt\((0 \leq t \leq 1)\)を変えることにより2点の間の位置が取得可能。
式は通常3次多項式から作られ、その式の微分(tにおけるその位置での加速度)とで解いていくと式が得られる。
ほとんど参考サイトとをなぞっているだけですが、数式の出し方は以下。

まずは3次多項式とその微分を用意。
\begin{align}
P(t) &= at^3 + bt^2 + ct + d\\
P'(t) &= 3at^2 + 2bt + c\\
& (0 \leq t \leq 1)
\end{align}

上記の式に t=0 と t=1 の値を代入。
また微分したものを\(v_0\)、\(v_1\)とする。
\begin{align}
& P(0) = d & P'(0) = c = v_0\\
& P(1) = a + b + c + d & P'(1) = 3a + 2b + c = v_1\\
\end{align}

上記の式を展開。
\begin{align}
\left\{
\begin{array}{ll}
& a + b = P(1) – v_0 – P(0)\\
& 3a + 2b = v_1 – v_0
\end{array}
\right.
\end{align}

上記の式を展開。
\begin{align}
b &= P(1) – v_0 – P(0) – a\\
\\
3a + 2b &= 3a + 2(P(1) – v_0 – P(0) – a)\\
&= a + 2P(1) – 2v_0 – 2P(0)\\
&= v_1 – v_0\\
\\
a &= v_1 – v_0 -2P(1) + 2v_0 + 2P(0)\\
&= v_1 + v_0 – 2P(1) + 2P(0)
\\
b &= P(1) – v_0 – P(0) – a\\
&= P(1) – v_0 – P(0) – (v_1 + v_0 – 2P(1) + 2P(0))\\
&= 3P(1) – 2v_0 – 3P(0) – v_1\\
\end{align}

a, bは上記から。c, dは最初の方に導き出されているので、a, b, c, dが揃った。それぞれを最初の3次多項式に入れて完成。
\begin{align}
f(t) = (2P(0) – 2P(1) + v_0 + v_1)t^3 + (-3P(0) + 3P(1) – 2v_0 – v_1)t^2 + v_0t + P(0)
\end{align}

参考)
Qiita | ゲームプログラマのためのパラメトリック曲線入門(Hermite Curve)
t-pot | 3次曲線